UDJMaths

Université de Djibouti
filière mathématiques

Tous les contenus mathématiques de l'Université de Djibouti, centralisés en un seul endroit.

CoursTDsContrôles continusExamens finauxCorrections
Voir l'aperçu
udj-maths.dj/dashboard

Analyse I

Semestre 1

Cours

TD

Évaluations

Analyse I › Cours

Chapitre 2 — Suites de nombres réels

Suites de nombres réels

Définition

Une suite de nombres réels est une application u:N→Ru : \mathbb{N} \to \mathbb{R}, notée (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}. On dit que (un)(u_n) converge vers ℓ∈R\ell \in \mathbb{R} si :

∀ ε>0, ∃ N∈N, ∀ n≥N,∣un−ℓ∣<ε\forall\,\varepsilon > 0,\ \exists\, N \in \mathbb{N},\ \forall\, n \geq N,\quad |u_n - \ell| < \varepsilon

Proposition

Toute suite convergente est bornée. Si (un)(u_n) converge, il existe M>0M > 0 tel que ∣un∣≤M|u_n| \leq M pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.

Preuve

Soit (un)(u_n) convergente de limite ℓ\ell. Pour ε=1\varepsilon = 1, il existe NN tel que ∣un−ℓ∣<1|u_n - \ell| < 1 pour n≥Nn \geq N. Par l'inégalité triangulaire, ∣un∣≤∣ℓ∣+1|u_n| \leq |\ell| + 1.

En posant M=max⁡ ⁣(∣u0∣,…,∣uN−1∣, ∣ℓ∣+1)M = \max\!\left(|u_0|, \ldots, |u_{N-1}|,\, |\ell|+1\right), on obtient le résultat.

Exercice

Soit (un)(u_n) définie par un=n2+12n2−3u_n = \dfrac{n^2 + 1}{2n^2 - 3}.

  1. Montrer que (un)(u_n) converge et calculer sa limite.
  2. Trouver un rang NN tel que ∣un−ℓ∣<10−2|u_n - \ell| < 10^{-2} pour tout n≥Nn \geq N.
Processus

Comment ça marche

Gratuit, accessible en quelques clics, sans friction.

01

Créez votre compte

Inscrivez-vous en quelques secondes avec Google. Aucune information bancaire requise.

02

Choisissez votre licence

Sélectionnez votre niveau — L1, L2 ou L3 — et accédez instantanément à toutes les ressources correspondantes.

03

Apprenez sereinement

Cours, TDs, contrôles et examens organisés dans une interface claire. Tout ce dont vous avez besoin, au même endroit.

Prêt à réussir vos examens ?

Rejoignez des centaines d'étudiants de l'Université de Djibouti qui apprennent avec udjmaths.